Titolo della tesi: Symmetries on juggling varieties
Questa tesi ha l’obiettivo di introdurre e studiare una sottovarietà isotropa di una Grassmanniana quiver per il ciclo equiorientato. Si tratta ovvero della sottovarietà di punti costituiti da collezioni di sottospazi vettoriali che soddisfano condizioni derivanti dal dotare lo spazio ambiente di una forma simplettica. La tesi mira ad unire ed espandere due articoli che ho pubblicato durante il mio dottorato, uno in collaborazione e uno a mio nome. È il primo passo in questa direzione, poiché l’approccio simplettico è sempre stato considerato soltanto per quiver aciclici. La Grassmanniana quiver di cui sopra è ottenuta degenerando linearmente l’azione del gruppo generale lineare $GL_{2n}$ sulla Grassmanniana $\text{Gr}(k,2n)$ in modo compatibile con una forma simplettica su $\mathbb{C}^{2n}$ fissata, così che il processo si restringe sia al gruppo simplettico $Sp_{2n}$ sia alla Grassmanniana isotropa $\text{Gr}(k,2n)^{sp}$. Questo dà luogo una degenerazione del primo che agisce sulla seconda, producendo una decomposizione cellulare della varietà in orbite. Indaghiamo dunque l’ordine parziale sull’insieme delle orbite dato dall’inclusione delle chiusure. Descriviamo esplicitamente il gruppo, calcoliamo la dimensione delle celle, e sviluppiamo la combinatoria sottesa. Particolare attenzione è dedicata al caso Lagrangiano, particolarmente interessante per motivi di dimensione. Vari altri risultati possono essere dimostrati in questo caso, come ad esempio descrivere le componenti irriducibili della sottovarietà, contrassegnare ogni cella con un elemento di un gruppo di Coxeter affine di tipo $C$ la cui lunghezza coincide con la dimensione della cella, o dotare la sottovarietà dell’azione scheletrica di un toro algebrico. Questo toro ci permette di mostrare che l’ordine per inclusione delle chiusure sull’insieme delle orbite per l’azione del sottogruppo simplettico sulla sottovarietà è ereditato dall’ordine per inclusione delle chiusure sull’insieme delle orbite per l’azione del gruppo ambiente sulla varietà ambiente.