Titolo della tesi: Recovering SU(2) Gauge Symmetry in Cosmological Implementations of Loop Quantum Gravity
Questa tesi analizza gli aspetti formali legati all’applicazione delle tecniche di quantizzazione sviluppate nell’ambito della Gravità Quantistica a Loop in un contesto cosmologico. Il contributo principale consiste nella proposta di una nuova procedura di riduzione di simmetria che consente di definire il settore cosmologico della formulazione di Ashtekar–Barbero–Immirzi della Relatività Generale, valida per modelli cosmologici generici. Un aspetto cruciale di tale metodo è che la simmetria di gauge locale SU(2) viene preservata, rendendo lo schema di quantizzazione pienamente coerente con la Gravità Quantistica a Loop, nel quale gli stati di spin-network su grafi simmetrici emergono in maniera naturale.
La Gravità Quantistica a Loop è considerata una delle teorie più promettenti per la descrizione quantistica della gravità, soprattutto grazie alla previsione che gli operatori quantistici di area e volume possiedano spettri discreti. L’estensione del programma di quantizzazione a loop alla cosmologia ha dato origine alla Cosmologia Quantistica a Loop. Sebbene quest’ultima abbia conseguito risultati significativi, introducendo fenomeni nuovi e di grande interesse, la sua attendibilità è stata talvolta messa in discussione, in particolare riguardo alla sua coerenza con la teoria completa della Gravità Quantistica a Loop.
I contributi originali della tesi si collocano innanzitutto nell’estensione del quadro della Cosmologia Quantistica a Loop a modelli cosmologici più generali, poco indagati in letteratura: i modelli non diagonali, rilevanti nel contesto della congettura di Belinski–Khalatnikov–Lifshitz. Si dimostra come tali modelli possano essere quantizzati tramite una lieve modifica dell’approccio standard, introducendo variabili angolari atte a descrivere le direzioni dell’espansione cosmica. In questo quadro analizziamo il ruolo della simmetria interna SU(2), evidenziando come l’approssimazione di minisuperspazio di fatto "abelianizzi" la teoria: il vincolo di Gauss si riduce infatti a tre vincoli abeliani indipendenti, equivalenti anche a livello quantistico.
Per ripristinare la simmetria di gauge locale SU(2) occorre andare oltre l’approccio di minisuperspazio. A tale scopo si sviluppa un formalismo geometrico basato sulla teoria dei fibrati principali, ponendo particolare attenzione al ruolo delle strutture di spin nella descrizione delle variabili di Ashtekar e dei vincoli associati. Questo formalismo viene applicato alla cosmologia, introducendo una definizione precisa di omogeneità per la connessione di Ashtekar coerente con il teorema di Wang. In tal modo si può definire un settore cosmologico classico mantenendo la simmetria di gauge locale SU(2). Inoltre, si analizza lo spazio dei moduli delle connessioni di Ashtekar omogenee, rivelando proprietà topologiche di rilievo che permettono di aggirare alcune problematiche tipiche della quantizzazione delle teorie di gauge.
Infine, proponiamo una nuova interpretazione di una classe di modelli spesso presentati come descrizioni efficaci di effetti gravitazionali quantistici: le teorie basate sul Principio di Indeterminazione Generalizzato. Viene introdotto una interpretazione semiclassica in cui tali modelli sono descritti come varietà simplettiche dotate di una struttura simplettica non standard, e si ipotizza un legame tra la geometria simplettica modificata e l’algebra di Poisson deformata quantisticamente. Applicando il formalismo a teorie vincolate, con particolare attenzione agli scenari cosmologici, dimostriamo che la deformazione risulta compatibile con la riduzione simplettica e, di conseguenza, con l’imposizione dei vincoli.