Titolo della tesi: Unitary and homotopy equivalences: classification of low-dimensional topological phases of quantum matter
Gli isolanti topologici hanno attirato notevole attenzione sia in fisica che in matematica, grazie al loro potenziale tecnologico e alla loro ricca struttura geometrica e algebrica. La loro proprietà distintiva è la corrispondenza bulk–boundary (interno-frontiera), secondo la quale una topologia non banale del bulk impone l’esistenza di stati metallici al bordo.
La classificazione matematica di tali fasi della materia si è tradizionalmente basata sulla K-teoria e sulla tavola periodica degli isolanti e superconduttori topologici, che associa invarianti topologici a diverse classi di simmetria definite dalle simmetrie di inversione temporale, particella-buca e chirale. Tuttavia, questo quadro teorico implica diverse approssimazioni: sostituisce le mappe a valori di proiezione (PVM) con fibrati vettoriali, contrae il toro in una sfera — trascurando così gli invarianti deboli — ed impiega nozioni di equivalenza stabile che non sempre catturano l’intero contenuto topologico.
Questa tesi sviluppa un approccio diretto di tipo omotopico alla classificazione delle PVM simmetriche, con l’obiettivo di superare tali limitazioni. In particolare, indaga l’interazione tra equivalenza unitaria e omotopia, identifica invarianti deboli assenti nella tavola di Kitaev e stabilisce uno schema di classificazione più generale, applicabile a modelli periodici arbitrari.
L’analisi si concentra su sistemi di bassa dimensione (0, 1 e 2 dimensioni), che offrono un terreno di prova gestibile ma non banale. All’interno di questo quadro, vengono esaminati modelli con una singola simmetria presente, corrispondenti alle classi di Altland–Zirnbauer A, AI, AII, AIII, C e D. I risultati chiariscono le ostruzioni alla costruzione di basi di Wannier simmetriche, affinano la comprensione degli invarianti topologici forti e deboli e illustrano in dettaglio la relazione tra le fasi topologiche della materia e la scelta di dimerizzazione nei modelli discreti.