Titolo della tesi: Educare alla argomentazione: dall’arte della persuasione alla dimostrazione matematica.
Un’evidente criticità dei modelli d’insegnamento/apprendimento disciplinare è la scissione dei ruoli tra le discipline scientifiche, spesso troppo orientate alla formazione tecnica, e le discipline umanistiche, tradizionalmente dedicate all’educazione della persona. Trattasi di una separazione delle discipline nell’ambito dell’istruzione secondaria che può limitare la capacità di cogliere “ciò che è tessuto insieme”, la complessità del mondo che ci circonda [Morin, E. (2000)] e le sfide degli ultimi anni poste dal cambiamento climatico, dalle pandemie, dalle intelligenze artificiali, per fronteggiare le quali sono necessari, dal mio punto di vista, insegnamenti interdisciplinari [Boix Mansilla, V. (2017)]. L’idea dell’efficacia di un approccio interdisciplinare per affrontare alcuni nodi critici specifici dell’insegnamento/apprendimento sta sempre più emergendo come tema importante e riconosciuto nella ricerca didattica dove molti e variegati sono gli studi sul tema. A tal proposito ricordiamo, ad esempio, i lavori di Lana Ivanitskaya sull’apprendimento olistico e lo studio dei processi di pensiero degli studenti [Jankvist U. T. (2010)], di Sanne Akkerman e Arthur Bakker sulla capacità di analizzare i problemi da diverse prospettive attraversando i confini disciplinari [Ackerman, D. B. (1989)], [Ackerman, S. F., Bakker, A. (2011)], di Veronica Boix Mansilla sullo sviluppo di metodologie pedagogiche e approcci educativi che favoriscano l’interdisciplinarità in classe incoraggiandone l’integrazione all’interno del curriculum [Boix Mansilla, V. (2002),(2005),(2017)]. In tale contesto, anche l’importanza e le difficoltà di un approccio interdisciplinare all’insegnamento della matematica è stato messo in evidenza in diversi studi internazionali [Williams et, (2016)], Sriraman B, Freiman V. (2011), Roth W-M. (2011)]. In alcuni di essi emerge come, a volte, le difficoltà siano legate anche alla formulazione dei curricoli disciplinari che, in genere, specificano obiettivi molto diversi per le aree che potrebbero essere combinate in un unico progetto. Ne segue che, a seguito di molti progetti interdisciplinari, gli insegnanti di matematica non trovano più “la loro matematica” proprio come gli altri insegnanti non trovano più le loro discipline e questi progetti comuni perdono di attrattività e interesse [Wolf Michael R. (2020)].
Inquadramento della ricerca: il ruolo della storia nei “Laboratori Globalmente Interdisciplinari” (G.I.L).
A partire dalla seconda metà del diciannovesimo secolo, Matematici del calibro di Klein, De Morgan, Cremona, Corrado Segre, Enriques, Castelnuovo e storici della matematica come Tannery e Loria, mostravano grande interesse nel ruolo che la storia della matematica può avere nell’insegnamento e nell’apprendimento della disciplina. All’inizio del ventesimo secolo questo interesse continuò ad affermarsi anche in relazione al dibattito sui fondamenti della matematica. La critica di Poincaré e di Enriques all’approccio assiomatico di Hilbert insiste sul fatto che la storia della scienza e della matematica debba essere la guida principale per l’insegnante.
La storia è anche alla base di diversi approcci epistemologici, come quello storico di Bachelard, quello genetico di Piaget e quello fenomenologico di Freudenthal, fondamentali per gli studi sui processi di apprendimento. Negli anni Sessanta e Settanta diversi approcci si sono contrapposti a quello radicalmente a–storico della “New Math”, riassunto nel celebre slogan “abbasso Euclide” di Dieaudonné. Molti di questi approcci hanno invece assegnato grande importanze al ruolo della storia nell’insegnamento (p.e. a Roma la tradizione dell’insegnamento di Enriques ha ispirato, tra gli altri, Emma Castelnuovo, Lucio Lombardo Radice e le scuole che fanno riferimento a loro). Alla fine degli anni Settanta del ventesimo secolo fu creato il gruppo HPM all’interno della commissione internazionale sull’insegnamento della matematica, dedicato allo studio delle relazioni tra la storia e la pedagogia della matematica. Tra le linee guida che il gruppo ha fissato fin dai suoi primi incontri e che ancor oggi indicano alcune delle linee principali di ricerca sul ruolo della storia nell’insegnamento della matematica, quelle che si collegano al lavoro presentato in questa tesi sono (cfr. [Barbin E., Guillemette D., Tzanakis (2020), p. 334]: a) promuovere e stimolare ricerche interdisciplinari; b) promuovere una comprensione più profonda dell’evoluzione della matematica, dei suoi concetti e delle sue tecniche; c) migliorare le pratiche di insegnamento e i contenuti dei curricola mettendo in relazione l’insegnamento della matematica al suo sviluppo storico; d) produrre materiale significativo per l’insegnante; e)facilitare l’accesso a questo materiale e alle fonti storiche; f) promuovere la consapevolezza della rilevanza della storia della matematica per l’insegnamento della matematica; g) promuovere un accesso alla matematica che metta in luce il suo valore culturale e sia facilitato dai suoi collegamenti culturali interdisciplinari.
Questa tesi intende offrire un contributo a questi punti, sviluppando un approccio metodologico, "Il laboratorio globalmente interdisciplinare" (GIL) che si pone l’obiettivo di integrarli in maniera coerente ed efficace.
Vediamo in maggior dettaglio il contributo epistemologico e culturale del lavoro nel quadro delle linee di ricerca contemporanee sulla storia della matematica nell’insegnamento, senza dimenticare, come spesso accade, i contributi originali dei grandi matematici di fine Ottocento/inizio Novecento, citati all’inizio dell’introduzione e in particolare quelli di Enriques e Castelnuovo.
Contributi epistemologici
Un primo contributo riguarda la ricerca sul ruolo dei problemi nella costruzione dei concetti e delle teorie [Barbin E., Guillemette D., Tzanakis C. (2020), p. 335], che affonda le sue radici nelle ricerche di Enriques [Enriques F., Chisini, (1915); Enriques, F. (1938)]), Klein [Klein, F., 2000]), Bachelard [Bachelard G. (1938), Bachelard G. (1949)] e Lakatos [Lakatos, I. (1979)]. Nella tesi, i problemi principali che vengono affrontati riguardano l’estensione di una figura, l’evoluzione dei metodi di valutazione dell’estensione e l’evoluzione delle tecniche argomentative. La collocazione dei problemi in diversi contesti culturali (rituale, applicativo, filosofico, matematico ellenico e matematico ellenistico) ha lo scopo di dare significato alla problematica e di facilitare l’apprendimento delle tecniche. Particolare attenzione è rivolta all’aspetto dialettico della ricerca matematica, messo in evidenza da Lakatos [Lakatos, I. (1979)], e al ruolo specifico della ricerca delle definizioni. Il quarto laboratorio, (cfr. "Carattere argomentativo della matematica greca"), è ispirato al famoso dialogo di Lakatos sui poliedri nel contesto di una classe di Liceo, mettendo in evidenza come “un problema può subire trasformazioni e come le soluzioni richiedono una trasformazione dei concetti” e delle tecniche [Barbin E., Jankvist U., Kjeldsen TH. (2015)]. I principali contributi della tesi che si inseriscono nel filone delle ricerche sulle implicazioni didattiche della visione di Lakatos della matematica e della scienza [Agassi J. (1980), Hersh R (1978), Larvor B. (1998), Sriraman B (2006)] sono: a) L’adattamento “dinamico” del dialogo di Lakatos e il suo collegamento con le riflessioni filosofiche avviate con la lettura del passo del Menone in cui Socrate aiuta lo schiavo a “ricordare” la duplicazione del quadrato; b) l’uso del dialogo con gli insegnanti per preparare il dialogo con gli studenti nelle diverse fasi del percorso laboratoriale.
I principali contributi della tesi che si inseriscono nel filone delle ricerche sull’uso della storia per insegnare la dimostrazione [Barbin E. (1997); Barbin E., Benard D. (2007); Calinger R. (ed) (1996); Hanna G, Jahnke N, Pulte H (eds) (2010)] sono relativi alla costruzione di situazioni a-didattiche ispirate allo sviluppo storico della matematica che portano a riflettere su: a) attività matematiche di carattere non dimostrativo (costruzioni geometriche, calcoli numerici, costruzione di definizioni ecc.) e a far emergere in maniera naturale e in un contesto sociale l’esigenza di argomentare; b) sulle caratteristiche delle argomentazioni matematiche e a far emergere l’esigenza di affinare le tecniche dimostrative; c) sulle necessità di procedere a dimostrazioni che si inseriscano all’interno di una teoria assiomatica e sull’utilità e sui limiti del metodo euclideo al di fuori di contesti strettamente matematici.
Contributi culturali
Molti sono gli esempi di attività in cui la storia contribuisce a dare un’immagine diversa della matematica agli studenti e agli insegnanti, da cui può scaturire una relazione più positiva con la matematica stessa. Infatti la storia permette la possibilità di inserire la matematica nel contesto filosofico, artistico, letterario e sociale di un certo periodo e collegare la matematica a questi contesti [Bischi, I., (2016)], [Lolli, G., Tortoriello, F.S. (2020)], [VassalloV.(2018)].
I principali contributi della tesi che si inseriscono in questo filone di ricerca sono: a) La costruzione di un sistema di “relazioni interdisciplinari” e di “scambio fluido dei ruoli” tra insegnanti e studenti [Bologna F., Rogora E., (2024)] in maniera da facilitare la costruzione di una nuova immagine della matematica; b) L’efficacia didattica interdisciplinare della richiesta di comporre dialoghi ispirati alla matematica o ai processi di apprendimento specifici della matematica (cfr. “Dialoghi scritti condivisi” (D.S.S.)).
Un ulteriore filone di ricerca riguarda l’uso di fonti originali nell’insegnamento /apprendimento della matematica [Swetz F, Fauvel J, Bekken O, Johansson B, Katz V (eds) (1995)]). Un contributo della tesi che si inserisce in questo filone di ricerca riguarda la progettazione del percorso (cfr. Parte II - Il percorso “Educare alla argomentazione: dall’arte della persuasione alla dimostrazione matematica”) che ha portato gli studenti, attraverso stimoli derivanti dall’impiego di nuove tecnologie, a voler intraprendere uno studio minuzioso del primo libro degli Elementi, con l’obiettivo di inserire una diversa dimostrazione del teorema di Pitagora nella struttura degli elementi, arrivando così ad apprezzare la difficoltà e l’importanza dell’opera di Euclide.
Nuove e interessanti prospettive sull’insegnamento e sull’apprendimento della matematica traggono fondamento da numerose ricerche recenti fondate su un approccio socioculturale alla matematica, la cui importanza è messa in evidenza dagli studi sulla storia della matematica in contesti culturali diversi da quello europeo (Radford L., 2021). Queste ricerche suggeriscono che l’apprendimento della matematica non si debba limitare alla risoluzione di problemi o alla manipolazione di linguaggi formali ma possa trarre vantaggio dalla conoscenza [Pastena N., Tortoriello F.S., (2021)] della dimensione storica, culturale, sociale, addirittura etica dell’attività matematica. I principali contributi della tesi che si inseriscono in questo filone di ricerca sono: a) La progettazione di un percorso che consideri esplicitamente la dimensione storica, culturale, sociale ed etica dell’attività matematica, e il suo collegamento con quella di altre discipline; b) L’elaborazione di attività interdisciplinari integrate per una valutazione dell’efficacia di questo percorso per quanto riguarda l’apprendimento della l’apprendimento della dimostrazione matematica.
Contributi didattici
Il contributo didattico più importante e originale riguarda l'uso del dialogo scritto come mediatore delle relazioni tra gli attori del processo di apprendimento e l'analisi del suo valore come strumento di costruzione di un sapere condiviso. Il dialogo, in virtù della sua natura intrinseca, non segue un percorso predefinito e chiuso, ma apre la strada a nuove possibilità didattiche, incoraggia lo sviluppo di idee innovative e sensibilizza sull'importanza di costruire il proprio cammino, favorendo collegamenti didattici interdisciplinari che possono sfuggire ad alcuni ma risultano chiari ad altri.
Interdisciplinarità come metodo per l’insegnamento della Matematica
Scrive Italo Calvino: “L’atteggiamento scientifico e quello poetico coincidono: entrambi sono atteggiamenti insieme di ricerca e di progettazione, di scoperta e di invenzione”. (Calvino I., 1980.). È intorno alla parola atteggiamento che vogliamo fare alcune riflessioni. Interpretiamo l’atteggiamento come qualcosa alla radice dei processi attraverso cui ci impadroniamo di una conoscenza. Il significato che attribuiamo alla parola è quindi quello di maniere per affrontare problemi che non hanno ancora un carattere disciplinare definito e che non si sono ancora specializzate in tecniche disciplinari. Le tecniche e le competenze disciplinari derivano come forme specializzate dagli atteggiamenti. Crediamo che dare importanza alle relazioni che esistono tra competenze disciplinari e atteggiamenti e l’opportunità di dedicare tempo a coltivare queste relazioni nei processi di apprendimento e insegnamento, possa non solo risultare una guida preziosa ma anche facilitare questi processi. Il nostro interesse per un insegnamento interdisciplinare è caratterizzato in modo specifico dalla ricerca degli atteggiamenti che sono alla radice dei processi di insegnamento/apprendimento della matematica e dalla progettazione di attività interdisciplinari mirate a sviluppare tali atteggiamenti, elaborando situazioni didattiche condivise tra diverse discipline che risultino efficaci nei processi di apprendimento di ognuna di esse. Questa ricerca favorisce anche l’apprezzamento del valore della matematica in contesti non disciplinari.
Castelnuovo – Lo scopo dell’insegnamento
Nei brani che verranno riportati, Castelnuovo usa la parola attitudine per riferirsi a qualcosa che riteniamo essere molto vicino alla parola atteggiamento usata da Calvino. Anche le attitudini di cui parla Castelnuovo condividono la caratteristica di essere comuni a diverse discipline.
“Lo scopo precipuo che l’insegnante deve proporsi non è quello di dare ai giovani una indigesta ed effimera erudizione, bensì di educare armonicamente tutte le varie attitudini dell’intelligenza, risvegliando le assopite, e disciplinando le esuberanti. Le maggiori cure egli dovrà dedicare alla facoltà più nobile, la fantasia creatrice che risulta da un felice accordo dell’intuizione con lo spirito di osservazione. Mancherà il tempo per estendere la cultura? E che importa? Le sole nozioni che la mente sappia conservare sono quelle che essa è adatta a ricevere, o quelle (oserei dire) che essa è in grado di procurarsi da sé. Preparare il terreno è la cosa essenziale. La natura è tutta piena di germogli fecondi. Se il terreno sarà fertile, non tarderanno a sbocciare i più mirabili fiori”. [Castelnuovo, G. (1907),pp. 15–16].
Questa è una succinta sintesi (nello stile di Castelnuovo) del programma che si propongono di realizzare i Laboratori interdisciplinari di cui vogliamo parlare.
Castelnuovo aggiunge: “Nel campo intellettuale le qualità che meglio valgono a distinguere l’uomo elevato dalla mediocrità sono la fantasia creatrice, lo spirito di osservazione, che forniscono gli elementi ad ogni opera d’arte o di scienza, le facoltà logiche che, frenando gli slanci del pensiero, danno all’opera proporzioni giuste e coesione. Senza fantasia non vi è artista né scienziato. Ma di fantasia non possono difettare nemmeno l’ingegnere, il commerciante, l’uomo politico, quando essi non si rassegnino a seguire pedestremente i precetti dei loro predecessori, rinunziando a qualsiasi audace iniziativa” (Castelnuovo, G. (1910), p. 25).
Castelnuovo scrive: fantasia, spirito di osservazione, facoltà logiche. Calvino scriveva: ricerca, progettazione, scoperta e invenzione. Le sintonie, spirito di osservazione – ricerca e scoperta, facoltà logiche – progettazione, fantasia – invenzione,
ci sembrano evidenti. I laboratori interdisciplinari, di cui parleremo, hanno lo scopo di sviluppare questi atteggiamenti/attitudini insieme ad altri di cui diremo. Castelnuovo aggiunge qualcosa di molto interessante, a nostro avviso, su come sviluppare le attitudini fondamentali.
“Ogni opera grande di arte o di scienza, i poemi di Omero come le moderne teorie cosmologiche, fisiche o biologiche, quando siano commentati da uno spirito largo, possono risvegliare o disciplinare la divina fantasia”. [G. Castelnuovo (1910), p. 25]
"Dal maestro dovremmo quindi esigere, più ancora che una profonda e specialistica conoscenza di un campo ristretto, un larga visione delle scienze che colla propria hanno le maggiori affinità, e delle applicazioni a cui quella da luogo." [G. Castelnuovo (1912) p. 57]
Ci consiglia quindi “larghezza di spirito” e il “superamento di vedute specialistiche”. In altre parole, un approccio interdisciplinare. Secondo noi questo approccio all’insegnamento è meno complicato da realizzare e risulta più efficace se coinvolge non uno ma un intero gruppo di insegnanti o, come auspica Castelnuovo “maestri”, come proponiamo di fare nei laboratori interdisciplinari globali [Bologna F., Rogora E., (2024)].
Il pensiero matematico non è un’isola separata
Crediamo, come abbiamo già detto, che alcuni atteggiamenti o attitudini interdisciplinari debbano essere oggetto di processi di insegnamento/apprendimento specifici che coinvolgono più discipline. Coltivare (insegnare) questi atteggiamenti/attitudini comuni risulta essere a nostro avviso molto importante nell’insegnamento/apprendimento delle discipline che ne presuppongono l’acquisizione, in particolare della matematica. Ma come è possibile coinvolgere in maniera attiva un gruppo di insegnanti nel collaborare in attività didattiche mirate a: a) stimolare processi di apprendimento di atteggiamenti o attitudini interdisciplinari; b) collegare questi atteggiamenti ai processi di apprendimento e di insegnamento delle singole discipline e, in particolare, in matematica. Innanzitutto, riconoscendo che il pensiero matematico non è un’isola separata dal pensiero comune. Come ci ricorda Volterra in un famoso brano, “tra il pensiero
matematico e il pensiero comune non corre quel divario che a tutta prima parrebbe”. Quindi bisogna, ed è possibile, condividere un po’ di matematica con insegnanti non matematici che collaborano ai laboratori e un po’ di altre discipline agli insegnanti di matematica.
L’interdisciplinarità nelle indicazioni nazionali
A livello nazionale, dal punto di vista istituzionale, sebbene l’interdisciplinarità non sia menzionata specificamente, le Indicazioni nazionali spingono per un approccio olistico all’educazione, in cui le discipline vengono insegnate in modo integrato e in relazione tra loro, incoraggiando lo sviluppo di competenze trasversali come la capacità di connettere le conoscenze da diverse aree disciplinari per risolvere problemi complessi. Il tema dell’interdisciplinarità è anche uno dei pilastri del progetto del Liceo Matematico [Capone, R., Rogora, E., Tortoriello F.S., (2017), Rogora E., Tortoriello S. (2018), Rogora E., Tortoriello S. (2021)], insieme alla metodologia didattica laboratoriale e alla sperimentazione di insegnamento/apprendimento di nuovi contenuti matematici, legati a recenti sviluppi scientifici o tecnologici.
Il laboratorio: “Educare alla argomentazione: dall’arte della persuasione alla dimostrazione matematica”.
Nonostante quanto premesso e il continuo riferimento all’importanza e all’efficacia di un insegnamento interdisciplinare, non esistono molte prassi consolidate relative a questo tipo di insegnamento e nella pratica spesso ci si limita a superficiali informazioni sui collegamenti che esistono tra le materie. Volendo contribuire a superare tale criticità e quindi perseguire un approccio maggiormente interdisciplinare, la ricerca si è focalizzata sulla progettazione e sperimentazione di un percorso “globalmente interdisciplinare” entro cui collocare l’evoluzione del percorso storico della argomentazione matematica attraverso due tappe fondamentali: dalla matematica “rituale” e “algoritmica” (India e Mesopotamia) alla matematica “argomentativa” (matematica ellenica); dalla matematica “argomentativa” alla matematica “assiomatica” (matematica ellenistica). La ricerca ha coinvolto come case study un consiglio di classe di secondo anno di un Liceo Scientifico “Talete” di Roma. Nello sviluppo delle attività, un ruolo importante è stato assegnato alle tecnologie digitali, in particolare ai software di geometria dinamica. Tali strumenti hanno reso possibile sperimentare, da parte di studenti e gli insegnanti, esperienze in cui è possibile mettere in movimento le figure (”muovere le figure fa muovere le idee” (cit. E. Castelnuovo)) e di realizzare oggetti digitali che hanno stimolato approfondite discussioni sui nodi concettuali attorno ai quali ruotava il percorso. Il quadro di riferimento è quello dei “Laboratori Globalmente Interdisciplinari” (G.I.L) [Rogora, E., Tortoriello F., (2021)],[Bologna F., Rogora, E., Veronesi, I.(2019)], che prevede, durante tutte le sue fasi, il coinvolgimento di un gruppo di docenti di materie diverse (I.T.U. - Unità di Insegnamento Interdisciplinare) che lavorano in copresenza. Dal punto di vista dell’insegnamento della matematica, l’applicazione di tale approccio interdisciplinare all’insegnamento della dimostrazione, mira a recuperare il significato e l’importanza scientifica, storica e culturale della dimostrazione e del metodo euclideo. Mettere in evidenza e “far sperimentare” i collegamenti interdisciplinari tra la matematica e il contesto storico/filosofico della Grecia, non è stato solo un modo nuovo, e a mio avviso molto efficace, per affrontare un problema fondamentale nell’insegnamento-apprendimento della matematica, ma si è rivelato, soprattutto, un’esperienza culturale interdisciplinare. Come detto, la ricerca ha prestato particolare attenzione all’uso del dialogo scritte come strumento di riflessione costruzione di un sapere condiviso tra gli insegnanti e la classe. La tesi è suddivisa in tre parti principali. La prima è dedicata all’inquadramento della ricerca (cfr. Parte I - Il Laboratorio Globalmente Interdisciplinare (G.I.L.)). Vengono affrontati il tema dell’interdisciplinarità globale, esplicitata la struttura dei G.I.L. e l’uso dei Dialoghi Scritti Condivisi (D.S.C.). La seconda parte (cfr. Parte II - Il percorso “Educare alla argomentazione: dall’arte della persuasione alla dimostrazione matematica”) è dedicata alla presentazione del percorso didattico con l’esplicitazione delle motivazioni, degli obiettivi, delle aspettative e delle opportunità didattiche delle singole attività progettate; rappresenta materiale pronto all’uso per gli insegnanti che volessero ripetere il laboratorio. La terza parte (cfr. pag. Parte III Conclusioni) è dedicata alle riflessioni conclusive.
Riferimenti Bibliografici presenti in tesi e visionabile al link:
https://drive.google.com/file/d/1z4K2He-gyLCnGFqxTWu4OE5lN5EmbksR/view?usp=share_link