Thesis title: Simulazione tridimensionale di onde e correnti
Le onde marine, nel propagarsi dalle zone ad acqua profonda verso la linea di costa, a causa dell’interazione con fondali di profondità via via decrescenti, subiscono modifiche che riguardano la direzione di propagazione, la lunghezza d’onda e l’altezza d’onda. Nella regione delle acque profonde, dove l’interazione con il fondale è trascurabile, onde regolari possono conservare la loro forma. Nella regione delle profondità intermedie, dove le onde iniziano a risentire dell’interazione con le profondità decrescenti, si verificano i fenomeni di rifrazione e shoaling. Il fenomeno di rifrazione consiste in una rotazione dei raggi d’onda che tendono a disporsi ortogonalmente alla linea di costa. Il fenomeno dello shoaling invece, comporta un progressivo irripidimento della forma dell’onda. Tale irripidimento è dovuto al fatto che la celerità del cavo dell’onda risulta inferiore alla celerità della cresta dell’onda a causa della maggiore interazione del cavo con i fondali. L’irripidimento della forma dell’onda aumenta fino alla zona di surf, dove l’interazione con le basse profondità porta la ripidità dei fronti d’onda fino ad un valore limite oltre il quale l’onda si rompe, con conseguente fenomeno del frangimento. Il fenomeno del frangimento ha carattere turbolento e produce un abbattimento dell’energia del moto e un progressivo abbattimento dell’altezza d’onda.
Le interazioni non lineari tra il moto ondoso e le batimetrie generano variazioni nei valori medi dei gradienti di elevazione della superficie libera che guidano le correnti litoranee, realizzando correnti parallele alla linea di costa e correnti rivolte verso il largo. Le correnti costiere in prossimità della linea di costa possono essere caratterizzate da campi di velocità diretti verso il largo che possono verificarsi in presenza di linee di costa di forma curvilinea, a causa della variabilità naturale del fondale marino o delle variazioni di profondità dell'acqua prodotte da frangiflutti sommersi.
La presenza di opere di difesa costiera, di tipo sommerso o emerso, può modificare significativamente i suddetti fenomeni idrodinamici, poiché può ridurre l'energia delle onde e può anche modificare la configurazione geometrica delle circolazioni costiere. La presenza di frangiflutti sommersi provoca una riduzione locale della profondità dell'acqua che induce le onde a frangere e a dissipare parte della loro energia. Tale fenomeno può produrre, nell’area compresa tra i frangiflutti e la costa, variazioni spaziali nell’elevazione media della superficie libera che inducono schemi di circolazione costiere che possono avere un effetto sia accrescitivo che erosivo per la linea di costa [1].
In presenza di frangiflutti emersi (che generalmente hanno un effetto accrescitivo per la linea di costa) l’interazione onda-struttura produce formazioni vorticose compiutamente tridimensionali che possono causare fenomeni locali di erosione e scavo. Conseguentemente, nella progettazione di opere costiere o portuali, in prossimità della linea di costa risulta importante la previsione del modo in cui queste opere interagiscono con l’evoluzione dei fondali.
La rappresentazione della dinamica dell'evoluzione dei fondali implica un'adeguata rappresentazione dei fenomeni di risospensione e sedimentazione delle particelle di sedimento che sono principalmente legati alla rifrazione delle onde, ai fenomeni di shoaling, diffrazione, riflessione, fragimento delle onde, alle correnti longshore e cross-shore e alla tridimensionalità del campo idrodinamico [2 – 8]. Un importante fenomeno tridimensionale è l’undertow, che consiste in una circolazione nel piano verticale in cui le velocità della corrente vicino al fondo sono dirette verso il largo nella zona di surf [9 – 11]. Tale corrente consiste in una circolazione nel piano verticale che si verifica nella zona di surf, in cui la corrente in prossimità della superficie libera è diretta verso la costa mentre in prossimità del fondo è diretta verso il largo. La corrente di undertow, insieme alle correnti di longhsore e alle correnti di rip, sono una delle cause del trasporto di sedimenti in mare.
Dalle precedenti considerazioni emerge il fatto che, qualora si vogliano analizzare e studiare le dinamiche evolutive del fondale marino in prossimità di linee di costa morfologicamente articolate e in presenza di opere di difesa costiera sommerse o emerse, è necessario tenere in considerazione in forma compiuta il carattere tridimensionale dei campi di velocità.
La simulazione numerica dei fenomeni idrodinamici descritti sopra richiede, conseguentemente, modelli numerici compiutamente tridimensionali in grado di simulare la propagazione dei campi d’onda dalla regione delle acque profonde fino alla linea di costa, compresa la zona del frangimento, e i campi di velocità indotti dall’interazione del moto ondoso con fondali variabili e con opere di difesa costiera.
La simulazione numerica tridimensionale del moto ondoso può essere realizzata risolvendo numericamente le equazioni di Navier-Stokes. Nella soluzione numerica delle equazioni di Navier-Stokes per flussi a superficie libera, una delle principali difficoltà è l’individuazione della posizione della superficie libera. In questo contesto, alcuni tra i primi modelli numerici proposti in letteratura [12 – 15] sono basati su una tecnica di tracciamento della superficie libera denominata VOF (volume of fluid). La tecnica VOF viene utilizzata per simulare il moto di due fluidi (aria-acqua) risolvendo un’equazione di bilancio della quantità di moto della miscela su di una griglia Cartesiana fissa nel tempo. La frazione di volume della fase gassosa viene calcolata per mezzo dell’equazione di continuità per la suddetta fase, mentre l’equazione di continuità della fase fluida si presenta nella forma della divergenza della velocità uguale a zero. Nelle celle occupate solo dall’acqua, la frazione di volume della fase gassosa è uguale a zero mentre la frazione di volume dell’acqua è uguale a 1. Nelle celle occupate solo dall’aria, la frazione di volume della fase gassosa è uguale a uno e si annulla la frazione di volume della fase liquida. Nelle celle occupate sia dal liquido che dall’aria, è collocata la superficie libera. La soluzione dell’equazione di continuità della fase gassosa consente il calcolo della frazione di volume della suddetta fase e quindi consente la localizzazione della superficie libera. Le condizioni al contorno sulla superficie libera vanno poste sul contorno delle celle di calcolo. Da ciò si deduce che, essendo la superficie libera non associata al contorno di una cella di calcolo, in tali metodi risulta difficile assegnare la condizione al contorno sulla pressione e la condizione al contorno cinematica [15]. Inoltre, l’uso di griglie di calcolo Cartesiane comporta elevati costi computazionali, che rendono particolarmente onerosa l’applicazione di questo metodo a simulazioni numeriche di moto ondoso su domini a scala reale.
Una diversa classe di modelli per flussi tridimensionali a superficie libera è basata sulla risoluzione numerica delle equazioni di Navier-Stokes espresse in un sistema di coordinate nel quale le coordinate orizzontali sono Cartesiane, mentre la coordinata verticale varia nel tempo al fine di seguire l’evoluzione della superficie libera [16 – 21]. La posizione della superficie libera è definita in modo univoco da una funzione delle coordinate orizzontali calcolata risolvendo un’equazione di continuità. Una trasformazione della coordinata verticale, usualmente chiamata trasformazione σ-coordinate, consente in ogni istante di ricollocare la superficie libera sul contorno superiore della griglia di calcolo. In tal modo è possibile assegnare correttamente la condizione al contorno sulla pressione e la condizione cinematica in superficie. Tale approccio consente di superare il principale limite dei modelli che adottano il metodo VOF e consente di simulare la propagazione del moto ondoso utilizzando poche (meno di 10) celle di calcolo lungo la direzione verticale. Una delle principali limitazioni degli attuali modelli numerici basati su tale metodologia [19 – 24] è data dal fatto che possono essere applicati solo utilizzando griglie di calcolo in cui le direzioni orizzontali sono descritte da coordinate Cartesiane.
Generalmente, le regioni costiere sono caratterizzate da una morfologia complessa in cui la linea di costa ha forma curvilinea e irregolare.
La risoluzione numerica delle equazioni del moto in forma tridimensionale su domini mobili con contorni caratterizzati da geometrie complesse può essere realizzata usando sistemi di coordinate curvilinee generalizzate conformi al contorno e dipendenti dal tempo. In tali sistemi di coordinate, la formulazione controvariante delle equazioni differenziali del moto è quella proposta da Luo e Bewley [25]. L’uso della formulazione controvariante non è comune nella risoluzione numerica delle equazioni del moto, a causa delle difficoltà legate alla discretizzazione delle derivate covarianti delle componenti controvarianti delle velocità. Tali derivate implicano la presenza dei simboli di Christoffel che sono dovuti alla variabilità dei vettori di base. La discretizzazione di questi simboli introduce errori computazionali, associati alle non uniformità della griglia di calcolo, che possono compromettere l’accuratezza della soluzione numerica. Inoltre, la presenza dei simboli di Christoffel non consente di scrivere i termini convettivi delle equazioni del moto in forma conservativa, ossia nella forma della divergenza. Recentemente, alcuni autori [26 – 31] hanno proposto una forma integrale controvariante delle equazioni di Navier-Stokes espresse in un sistema di coordinate curvilinee generalizzate dipendenti dal tempo, che non contiene i simboli di Christoffel.
La principale difficoltà nella simulazione numerica della propagazione delle onde dalla regione delle acque profonde fino alla linea di costa (compresa la zona di surf) è legata alla simulazione numerica del frangimento dell’onda. I modelli tridimensionali proposti da [19 – 31], sono basati sull’idea che l’onda frangente può essere simulata come un’onda di shock, ossia come una discontinuità della soluzione (detta anche soluzione debole) delle equazioni del moto. È noto che la simulazione numerica delle onde di shock presenta notevoli difficoltà. Infatti, l’approssimazione numerica di una onda di shock può avere erronea intensità (ossia erroneo rapporto tra i valori delle grandezze a monte e a valle dell’onda di shock) ed erronea celerità di propagazione, e può quindi fornire un’erronea localizzazione nel tempo della discontinuità. Inoltre, nella soluzione numerica in prossimità delle discontinuità possono generarsi oscillazioni spurie non fisiche che possono propagarsi nel resto della soluzione compromettendo l’intero risultato. Nella simulazione dei campi idrodinamici, è condizione necessaria ma non sufficiente l’uso di schemi numerici conservativi per la convergenza alla soluzione debole con discontinuità (delle equazioni del moto): tali schemi conservativi devono essere in grado di preservare a livello discreto proprietà della soluzione esatta come la conservazione di grandezze globali (ossia integrate su un volume) e la conservazione di invarianti attraverso la discontinuità. Toro [32] sottolinea che, nell’integrazione numerica delle equazioni differenziali del moto, i termini convettivi espressi non in forma della divergenza non consentono la formulazione di schemi numerici conservativi. Schemi numerici non conservativi non consentono la convergenza alla corretta soluzione debole con discontinuità. Schemi numerici conservativi (i cui termini convettivi sono espressi nella forma della divergenza) applicati a equazioni del moto espresse in termini di variabili primitive (H e u_l, dove H è la profondità dell’acqua e u_l sono le componenti del vettore velocità) producono onde di shock con erronea celerità di propagazione. La forma integrale delle equazioni del moto espresse in termini di variabili conservate (H e Hu_l) consente la formulazione di schemi numerici conservativi che possono convergere alla corretta soluzione debole con discontinuità.
Nei lavori di [19 - 31], al fine di poter simulare le onde frangenti come un’onda di shock, le equazioni del moto sono risolte numericamente mediante schemi numerici ai volumi finiti di tipo shock-capturing che adottano tecniche di ricostruzione di tipo TVD (Total Variation Diminishing) del 2° ordine e solutori di Riemann approssimati.
Nella prima parte del lavoro di dottorato è stata effettuata una sperimentazione numerica finalizzata a determinare i principali difetti e limiti applicativi del suddetto schema numerico di tipo shock-capturing che adotta ricostruzioni TVD del 2° ordine e un solutore di Riemann approssimato di tipo HLL. I risultati della suddetta sperimentazione numerica dimostrano che le simulazioni tridimensionali di onde frangenti realizzate con schemi shock-capturing che adottano ricostruzioni TVD del 2° ordine e un solutore di Riemann approssimato di tipo HLL sono caratterizzate da alcuni difetti: tendono a sottostimare l’evoluzione dell’altezza d’onda nella fase di shoaling; non sono in grado di cogliere il punto di inizio del frangimento e non sono in grado di simulare correttamente l’abbattimento dell’altezza d’onda nella zona di frangimento, con conseguente sottostima delle correnti litoranee. Per fornire rappresentazioni più attendibili dell’evoluzione dell’altezza d’onda nella zona di shoaling, della dinamica di abbattimento dell’altezza d’onda nella zona di surf e della conseguente generazione delle correnti litoranee indotte, tali schemi numerici di basso ordine richiedono l’adozione di griglie raffinate (soprattutto in direzione orizzontale) che ne limitano l’applicabilità principalmente a casi studio a scala di laboratorio.
In questa tesi si dimostra che la causa dei suddetti difetti è legata a due limiti fondamentali degli schemi numerici di tipo shock-capturing che adottano ricostruzioni TVD del 2° ordine e solutori di Riemann approssimati e che sono proposti nei modelli tridimensionali di [19 – 31]. Il primo limite fondamentale è dato dal fatto che l’avanzamento nel tempo dello stato del sistema è ottenuto aggiornando le variabili primitive u_l (invece che le variabili conservate Hu_l) che, come si è detto, producono onde di shock con erronea celerità di propagazione. Il secondo limite fondamentale è dato dal fatto che, al fine di contenere le oscillazioni spurie che si generano in prossimità degli shock e limitare la propagazione di tali disturbi nella soluzione numerica, tutti i già menzionati modelli [19 – 31] adottano schemi shock-capturing basati su tecniche di ricostruzione di tipo TVD (Total Variation Diminishing) di basso ordine (non superiore al 2° ordine) e solutori di Riemann approssimati dissipativi.
In questa tesi si propone un nuovo modello numerico tridimensionale di tipo shock-capturing di alto ordine, che ha lo scopo di superare i limiti dei modelli tridimensionali sopracitati. Tale modello è basato sulla risoluzione numerica della forma integrale e controvariante delle equazioni di Navier-Stokes espresse in un sistema di coordinate curvilinee generalizzate dipendenti dal tempo. Tale formulazione delle equazioni del moto rappresenta una forma generale delle equazioni di Navier-Stokes espresse in un sistema di coordinate curvilinee generalizzate dipendenti dal tempo. Infatti, in questa tesi si dimostra che, partendo dalla formulazione integrale e controvariante sopracitata e facendo il limite per il volume di controllo che tende a zero, si ottiene la formulazione differenziale completa delle equazioni controvarianti di Navier-Stokes in un sistema di coordinate curvilinee generalizzate dipendenti dal tempo, che coincide con quella ottenuta da Luo e Bewley [25].
Sempre in questa tesi si dimostra che la formulazione integrale controvariante sopracitata rappresenta una generalizzazione delle equazioni del moto usate in tutti i precedenti modelli di letteratura che adottano una trasformazione σ-coordinate. Infatti, le equazioni del moto proposte nei modelli di [19 – 31], che sono espresse in forma differenziale in un sistema di coordinate curvilinee, in cui solo la coordinata verticale varia nel tempo e in cui il vettore velocità del fluido è espresso in componenti Cartesiane, possono essere dedotte dalla formulazione integrale controvariante attraverso alcuni passaggi. Il primo passaggio consiste nel semplificare la formulazione integrale controvariante delle equazioni, scegliendo una specifica trasformazione di coordinate curvilinee dipendenti dal tempo in cui le coordinate curvilinee orizzontali sono fisse nel tempo, mentre la coordinata curvilinea verticale si muove secondo la trasformazione σ-coordinate. Il secondo passaggio consiste nell’esprimere le grandezze vettoriali e tensoriali rispetto ad un sistema di vettori di base Cartesiani. Il terzo passaggio consiste nel fare il limite per il volume di controllo che tende a zero delle equazioni ottenute al passaggio precedente. A seguito di questi passaggi, la formulazione integrale controvariante si riduce alla forma differenziale delle equazioni di Navier-Stokes espresse in un sistema di coordinate curvilinee, in cui solo la coordinata verticale varia nel tempo e in cui il vettore velocità del fluido è espresso in componenti Cartesiane. Tale formulazione è quella utilizzata da [23 – 24].
Eseguendo un ulteriore passaggio, la formulazione integrale controvariante si riduce ad una diversa forma differenziale delle equazioni di Navier-Stokes in cui la coordinata verticale varia nel tempo secondo la trasformazione σ-coordinate, mentre le due coordinate orizzontali coincidono con quelle Cartesiane e il vettore velocità del fluido è espresso in componenti Cartesiane. Tale formulazione è quella utilizzata da [5, 16, 23 – 24].
In questa tesi, la formulazione integrale controvariante già menzionata viene utilizzata per realizzare un nuovo schema numerico di alto ordine di tipo shock-capturing per la simulazione tridimensionale del moto ondoso e delle correnti litoranee.
I principali elementi di novità dello schema numerico proposto sono tre.
Il primo elemento di novità è un originale schema numerico conservativo in cui l’aggiornamento nel tempo dello stato del sistema è funzione delle variabili conservate.
Il secondo elemento di novità è la proposta di una originale tecnica di ricostruzione di alto ordine di accuratezza che, partendo dai valori medi di cella delle variabili conservate, ricostruisce i valori puntuali delle medesime variabili conservate al centro delle facce delle celle di calcolo. Tale tecnica di alto ordine, proposta in questa tesi, si distingue dalle tecniche WENO e viene (sempre in questa tesi) denominata Wave Targeted Essentially Non-Oscillatory (WTENO).
Il terzo elemento consiste con il fatto che, a differenza di come viene fatto in letteratura nei modelli di [19 – 31] (nei quali si utilizza una soluzione approssimata del Problema di Riemann), in questa tesi si risolve in maniera esatta il problema di Riemann.
Per quanto riguarda il primo elemento di novità, va ribadito il fatto che, come già detto, equazioni del moto in cui i termini convettivi non sono espressi nella forma della divergenza non consentono la formulazione di schemi numerici conservativi. Schemi numerici non conservativi non consentono la convergenza alla soluzione debole con discontinuità. Gli schemi numerici conservativi (in cui i termini convettivi sono espressi nella forma della divergenza) applicati a equazioni del moto espresse in termini di variabili primitive producono onde di shock con erronea celerità di propagazione [32].
Per superare i limiti su esposti, in questa tesi si propone un nuovo schema numerico che è basato sulla formulazione integrale controvariante delle equazioni di Navier-Stokes, che è priva dei simboli di Christoffel. Ciò consente di realizzare uno schema numerico conservativo. Nello schema numerico proposto non vengono utilizzate variabili primitive ma variabili conservate. Come già detto, l’utilizzo di variabili primitive non consente agli schemi numerici conservativi di guadagnare la corretta soluzione debole con discontinuità, con una corretta celerità di propagazione dello shock [32]. L’utilizzo di variabili conservate induce una sostanziale modifica degli schemi numerici proposti da [19 – 31]. Nello schema numerico proposto in questa tesi, l’evoluzione nel tempo della soluzione numerica è ottenuta per mezzo di un metodo predictor-corrector, che consente di tenere in conto la componente dinamica della pressione. A differenza di come fatto negli schemi numerici proposti da [19 – 31], in cui vengono aggiornati i valori delle variabili primitive u_l, nel metodo di tipo predictor-corrector proposto in questa tesi, vengono aggiornati i valori delle variabili conservate Hu^((l)) (in cui H è la profondità dell’acqua e u^l sono le componenti controvarianti del vettore velocità). Come si è già detto, la forma integrale dell’equazione di bilancio della quantità di moto espressa in funzione di variabili conservate viene risolta per mezzo dello schema numerico conservativo proposto. Nella prima fase del suddetto metodo numerico (fase predictor) viene risolta numericamente l’equazione di bilancio della quantità di moto nella quale è stata omessa la componente dinamica della pressione. In tal modo si ottiene un campo di prima approssimazione delle variabili conservate Hu^((l)*). Il campo predictor Hu^((l)*) viene utilizzato direttamente per definire il termine noto di una equazione di Poisson, senza dover calcolare il campo delle variabili primitive u^((l)*). La risoluzione numerica della suddetta equazione di Poisson fornisce un potenziale scalare Ψ, con cui viene corretto direttamente il campo delle variabili conservate, Hu^((l)). In tal modo lo schema conservativo proposto supera i limiti sopra esposti ed è in grado di convergere alla soluzione debole con discontinuità, con una corretta celerità di propagazione dello shock.
Il secondo elemento di novità dello schema numerico proposto riguarda il metodo shock-capturing. Tale metodo richiede la ricostruzione dai valori mediati di cella delle variabili ai valori puntuali delle stesse variabili sulle facce delle celle di calcolo. Come già detto, nei modelli numerici di [19 – 31] tali ricostruzioni sono eseguite per mezzo di schemi TVD del 2° ordine. Come dimostrato in questa tesi, le simulazioni tridimensionali di onde frangenti realizzate con schemi shock-capturing del 2° ordine tendono a sottostimare l’evoluzione dell’altezza d’onda nella fase di shoaling, non sono in grado di cogliere il punto di inizio del frangimento e non sono in grado di simulare correttamente l’abbattimento dell’altezza d’onda nella zona di frangimento, con conseguente sottostima delle correnti litoranee. La principale causa di questi difetti non è attribuibile soltanto ai modelli di turbolenza utilizzati. Nella simulazione numerica tridimensionale di onde frangenti, la principale causa dei difetti, descritti sopra, è legata all’eccesso di dissipazione di energia indotta, nella soluzione numerica, da schemi shock-capturing troppo poco accurati. Per superare i suddetti limiti è necessario innalzare l’ordine di accuratezza dello schema numerico e mantenere buone proprietà non oscillatorie in prossimità degli shock.
A tal fine, in questa tesi, si propone una nuova tecnica di ricostruzioni denominata (sempre in questa tesi) WTENO (Wave Targeted Essentially Non-Oscillatory) del 5° ordine. La tecnica proposta è basata sull’uso di terne di polinomi di ricostruzione del 3° ordine definiti su gruppi di celle contigue, sulla definizione di una cosiddetta funzione di scelta (dipendente dallo spazio e dal tempo) che varia al variare della regolarità dei polinomi e sulla definizione di una soglia dinamica (anch’essa dipendente dallo spazio e dal tempo) che varia sia in funzione della regolarità stessa dei polinomi sia in funzione della ripidità dei fronti d’onda. Ad ogni istante della simulazione ed in ogni punto del dominio di calcolo, il confronto tra il valore assunto dalla funzione di scelta e il valore della soglia dinamica determina se alla ricostruzione dei valori puntuali delle variabili conservate partecipano uno, due o tre dei polinomi candidati. Tale tecnica di ricostruzione (proposta in questo lavoro di tesi per la prima volta) garantisce un alto ordine di accuratezza, buone proprietà non oscillatorie dello schema numerico ed evita l’eccessiva dissipazione di energia prodotta da tecniche di ricostruzione TVD o WENO.
Per quanto riguarda il terzo elemento di novità, va ribadito il fatto che, il nuovo schema numerico proposto in questa tesi, è uno schema di tipo shock-capturing che adotta la nuova tecnica di ricostruzioni WTENO al fine di calcolare i valori puntuali delle variabili conservate sulla faccia della cella di calcolo. Su ogni faccia della cella di calcolo, le ricostruzioni restituiscono un valore destro ed un valore sinistro delle variabili conservate (H^+,H^-,Hu_l^+,Hu_l^- ove gli apici + e – indicano rispettivamente il valore destro ed il valore sinistro della variabile conservata). Tali valori destro e sinistro rappresentano una discontinuità nella soluzione numerica. Per l’avanzamento nel tempo della suddetta soluzione numerica sulla faccia della cella di calcolo è necessario risolvere un problema di Riemann. Come già detto, i modelli tridimensionali di tipo shock-capturing sopra citati [19 – 31] utilizzano, per l’avanzamento delle grandezze puntuali sulle facce, solutori di Riemann approssimati. L’idea alla base dei risolutori di Riemann approssimati è quella di assumere una configurazione semplificata della struttura della soluzione teorica. Infatti, in tali solutori approssimati, la struttura della soluzione teorica consiste soltanto dell’onda di rarefazione e dell’onda di shock, che separano tre stati costanti. Tale semplificazione fa sì che non venga risolta l’onda di contatto. Conseguentemente, solutori di Riemann approssimati risultano troppo dissipativi in presenza di shock (forti gradienti) a causa della struttura incompleta delle onde [32].
In questa tesi, si propone un solutore di Riemann esatto per l’avanzamento nel tempo della soluzione numerica sulle facce delle celle di calcolo. Tale solutore di Riemann consente di evitare la dissipazione numerica introdotta da solutori approssimati, in quanto considera la completa struttura della soluzione teorica (onda di rarefazione, onda di shock e onda di contatto). Tale soluzione teorica del problema di Riemann esatto permette di stabilire come le discontinuità si propagano nel tempo e nello spazio e fornisce un valore avanzato nel tempo per ognuna delle variabili conservate Hu_l sulle facce delle celle di calcolo.
La tesi è così suddivisa.
Nel primo capitolo viene presentata la forma integrale controvariante delle equazioni di Navier-Stokes scritte in un sistema di coordinate curvilinee generalizzate dipendenti dal tempo.
Nel secondo capitolo della tesi viene presentato lo studio, realizzato per mezzo di simulazioni numeriche, dei fenomeni idrodinamici connessi all’interazione tra onde e opere di difesa costiera quali barriere sommerse. Tali simulazioni sono state condotte utilizzando il modello numerico tridimensionale di tipo shock-capturing che adotta ricostruzioni TVD del 2° ordine e un solutore di Riemann approssimato.
Nel terzo capitolo della tesi viene presentata una sperimentazione numerica finalizzata a determinare i principali difetti e limiti applicativi del suddetto modello numerico. A tal fine sono stati riprodotti numericamente diversi test di laboratorio di onde frangenti e di correnti utilizzando griglie di calcolo poco raffinate.
Nel quarto capitolo della tesi viene presentato il nuovo schema numerico conservativo di alto ordine di tipo shock-capturing in cui l’aggiornamento nel tempo dello stato del sistema è funzione delle variabili conservate. In tale capitolo viene dimostrato che la formulazione integrale controvariante alla base dello schema numerico proposto rappresenta una forma generale delle equazioni di Navier-Stokes espresse in un sistema di coordinate curvilinee generalizzate dipendenti dal tempo. Nello stesso capitolo viene dimostrato che da tale formulazione è possibile ricavare sia la forma differenziale presentata da [25], sia quella utilizzata da [23 – 24], sia quella utilizzata da [5, 16, 22].
Nel quinto capitolo viene presentata l’originale tecnica di ricostruzione di alto ordine di accuratezza (in questa tesi denominata WTENO) che, partendo dai valori medi di cella delle variabili conservate, ricostruisce i valori puntuali delle medesime variabili conservate al centro delle facce delle celle di calcolo.
Nel sesto capitolo viene presentato il problema di Riemann e viene presentata la proposta di una nuova soluzione del problema di Riemann in forma esatta per l’avanzamento nel tempo della discontinuità all’interfaccia delle celle di calcolo.
Nel settimo capitolo viene presentata la validazione del nuovo schema numerico tridimensionale di tipo shock-capturing proposto. Tale validazione è realizzata confrontando i risultati ottenuti dal modello numerico proposto con i risultati sperimentali relativi a test di laboratorio ampiamente utilizzati in letteratura per la simulazione del fenomeno del frangimento e delle correnti indotte dai gradienti di elevazione della superficie libera.
Nell’ottavo capitolo viene presentata un’applicazione del modello numerico proposto alla simulazione delle formazioni turbolente locali, variabili nel tempo, che si realizzano a valle di una struttura immersa investita da onde frangenti.
Nel nono capitolo viene presentata un’applicazione del modello numerico proposto alla simulazione delle correnti litoranee indotte dal moto ondoso nell’area costiera che comprende il porto di Cetraro.
Nell’ultimo capitolo sono presentate le conclusioni.