Titolo della tesi: Alternative Compactifications of M_{g,n} via Cluster Algebras and their Birational Geometry
In questa tesi costruiamo nuove compattificazioni di $M_{g,n}$ come good moduli spaces di stacks di curve con singolarità di tipo $A_i$ per $i \leq 3$. Queste rappresentano tutte le $\mathbb{Q}$-fattorizzazioni parziali di $\overline{M}_{g,n}(7/10)$, lo spazio che compare nel primo flip del programma di Hassett–Keel, fornendo una nuova istanza del principio di modularità per il minimal model program di \overline{M}_{g,n}.
Studiamo lo stack delle curve con fibrato log-canonico ampio e singolarità del tipo sopra descritto, stabilendo una caratterizzazione dei sottostacks aperti che ammettono un good moduli space proprio. Le nuove compattificazioni sono quindi costruite come good moduli space del luogo semistabile rispetto a opportuni fibrati in rette su $\mathcal{M}_{g,n}(7/10)$, lo stack di curve che compare nel primo flip del programma di Hassett–Keel.
Il nostro approccio sviluppa un framework per lo studio della semistabilità rispetto ai fibrati in rette, rivelando un fenomeno di wall-crossing in un quoziente del gruppo di Picard; nel caso di $\mathcal{M}_{g,n}(7/10)$, tale wall-crossing è dato dal fan dei cluster di alcune algebre di tipo cluster di tipo finito.
Questo lavoro estende i risultati e risponde a domande aperte in un articolo di Codogni, Tasin e Viviani.